К вопросам построения эффективных алгоритмов расчета системы «сооружение-грунт»

Аннотация

М.И. Кадомцев, А.А. Ляпин, С.И. Тимофеев

Рассмотрено совместное использование МКЭ и МГЭ для расчета динамического поведения поверхностного сооружения на многослойном основании. Для реализации МГЭ при расчете основания предложен аналитический метод, эффективный при произвольном числе слоев и соотношений их параметров. Даны системы аппроксимирующих функций в области сопряжения методов, а также предложены формулы численного интегрирования на сопрягаемых элементах.
Ключевые слова: метод конечных элементов, метод граничных элементов, многослойное основание, фундаментальные решения.

Ключевые слова:

05.23.17 - Строительная механика

При реализации методов расчета поведения поверхностных строительных объектов на основе совместного использования методов конечных (МКЭ) и граничных элементов (МГЭ) [1] важными вопросами являются построение эффективных схем расчета элементов напряженно-деформированного состояния полуограниченных структур, относящихся к многослойному основанию, и согласование методов в области их сопряжения.

1. Для расчета основания предлагается метод полуплоскостей: как при определении полей от  поверхностного источника, так и при нахождении фундаментальных решений для сосредоточенного источника с целью реализации МГЭ. Метод обладает высокой эффективностью, так как позволяет разделить волновые поля по их отражению от различных границ слоистой структуры, в том числе при анализе плотности потока энергии упругих колебаний.

Проиллюстрируем отмеченное на примере задачи  плоской деформации многослойного полупространства.
Пусть область , занимаемая средой, представляет собой -слойное упругое полупространство: , описываемое в декартовой системе координат  как (рис. 1):

Рис. 1 – Область в декартовой системе координат

 – полупространство;
 – j-й слой (j=2,...,N) толщины .
Упругие свойства сред в  описываются плотностью  и коэффициентами Ламе  или соответственно модулем упругости  и коэффициентом Пуассона :
, .
На поверхности среды в области  задана система распределенных усилий:
.
В случае однородной полуплоскости с применением  преобразования Фурье  по переменной

для функций перемещений точек данной области получим интегральные представления:
.  (1)
Элементы матрицы  имеют вид ():
,
,
, , ,

Аналогично для вектора напряжений на линиях , найдем, что
     (2)
,   
,            .

Рис. 2 – Контур интегрирования

Контур интегрирования  в представлениях (1), (2) определяется применением принципа предельного поглощения [2]: при отсутствии диссипации энергии в среде обходит положительный корень уравнения Рэлея:  – снизу, отрицательный – сверху, а на остальной части совпадает с вещественной осью, как показано на рис. 2.
При наличии малой диссипации энергии в среде интегрирование можно проводить непосредственно по вещественной оси.
Решение для одного слоя при заданных на его гранях векторах напряжений:
, 
строится  способом суперпозиции решений для двух полуплоскостей.
Пусть в локальной системе координат для -го слоя:  амплитудные функции перемещений имеют вид:
.
Функции , удовлетворяющие уравнениям движения, согласно предлагаемому методу будем разыскивать в виде суммы решений для полупространств :
.                        (3)

Рис. 3

Здесь слагаемые  в (3) являются решениями уравнений Ламе для однородной полуплоскости с удовлетворением граничных условий:
, .
Вектор перемещений , представим через трансформанты вектора напряжений  в виде:
.    (4)
Здесь функции  получены из  заменой упругих параметров полуплоскости на параметры -го слоя.
Аналогично формуле (4) определяются перемещения для полуплоскости  через функции , где для элементов  справедливы соотношения:
, ,  – символ Кронекера.
Определяя напряженное состояние слоя в виде суммы соответствующих решений для двух полуплоскостей, получим:
,    (5)
где  имеют вид (2).
Для второй группы слагаемых найдем:      .
При рассмотрении далее общей краевой задачи для -слойной полуплоскости используются граничные условия и условия сцепления слоев между собой и подстилающей полуплоскостью, что в пространстве преобразований Фурье по переменной  приводит к системе ЛАУ относительно неизвестных функций напряжений , ; .
По найденным компонентам напряжений на гранях слоя можно восстановить осредненный за период колебаний поток энергии, проходящий через границы раздела сред :
.  (6)
Здесь, при введении малой диссипации в слоях конструкции в качестве контура  выбиралась вещественная ось.
Подставляя далее выражения (3), (5) в преобразованном по Фурье виде в соотношение (6), получим:
, где  имеют смысл плотности потока энергии излучаемых и отраженных волн от плоской поверхности .

1. Важным моментом при численной реализации совместного использования методов конечных и граничных элементов для системы «сооружение-грунт» является выбор системы аппроксимирующих функций, а также применение формул численного интегрирования на элементах.

Стыковка МКЭ и МГЭ предполагает равенство векторов узловых перемещений и усилий в области контакта  фундамента здания или сооружения и окружающего грунтового массива  и не требует согласования данных характеристик вне узлов. Отсюда выбор закона полиномиального распределения перемещений в области контакта может быть независимым для каждого из методов (безусловно, предпочтительнее выбирать аппроксимирующие функции одной и той же степени).
Не ограничивая общности, можно считать, что область контакта  является плоской с введением локальной системы координат . Соответствующая система узлов     определяется разбиением конечной части системы «сооружение-грунт» в методе конечного элемента и выбором типа конечного элемента.

Рис. 4

Так для восьмиузловых твердотельных элементов (рис. 4) область  разбивается на четырехугольные граничные элементы (IJKL). При использовании опции элементов: призма или тетраэдр, граничные элементы имеют форму треугольников (IJK). Таким образом, наиболее общей формой граничных элементов для применения МГЭ является треугольная. К этому же приводит разбиение области контакта неплоской формы путем триангуляции соответствующей поверхности в пространстве.
Таким образом, считаем,  что область  разбита сетью граничных треугольных элементов с узлами  В каждом узле вектор перемещений  имеет значение , .

Рис. 5

Применим на элементе линейную аппроксимацию:
,           (7)
Константы  определяются из условий  ,  - символ Кронекера. В результате получим:
,  (8)
,
,
.
Следует отметить, что линейная интерполяция неизвестной функции на каждом элементе не нарушает условия непрерывности поля перемещений в целом на границе . Это следует из условий равенства полного набора констант аппроксимации для области  (, где - число граничных элементов модели) и суммы числа условий непрерывности перемещений в узлах для смежных элементов  и  числа  самих узлов как точек коллокации для определения неизвестных перемещений в них.
При использовании аппроксимаций более высокого порядка, например квадратичной (лагранжевы элементы),  условия согласования перемещений в узлах и их корректное определение требуют введения дополнительных узлов по центру сторон треугольников. Это в свою очередь приводит к необходимости использования в сопрягаемом МКЭ 10-узловых пирамидальных элементов (рис. 6), что увеличивает порядок системы линейных уравнений метода конечных элементов и сложности стыковки с МГЭ. Получаемое же увеличение точности решения легко можно компенсировать уменьшением сетки разбиения при использовании линейной интерполяции на элементах.

Рис. 6

Решение граничного интегрального уравнения требует также аппроксимации в области  вектора напряжений:
, где - тензор напряжений Коши, - нормаль к области . Исходя из требования сохранения количества узлов сопрягаемых сеток граничных и конечных элементов,  для вектора напряжений необходимо применять интерполирующие функции того же порядка, что и для вектора перемещений.
Форма сопряжения МГЭ и МКЭ по напряжениям в узловых точках в этом случае может иметь следующий вид:
,
здесь   - узловое усилие в -м узле МКЭ;
 - значение вектора напряжений в -м узле МГЭ;
 - множество граничных элементов, сопряженных с -м узлом;
 - площадь элемента с номером  (рис. 5),  ;
 - количество узлов граничного элемента (в случае линейной интерполяции , для квадратичной -  ).
При использовании метода граничных элементов необходимым элементом является интегрирование по двумерной области  с разбиением на треугольные элементы:
,
где подынтегральная функция   может иметь интегрируемую особенность степенного или логарифмического характера в точках , совпадающих с узлами аппроксимации (вершинами треугольника или серединами его сторон). В этом случае одним из способов интегрирования, показавшим  существенную эффективность, является использование квадратурных формул с узлами внутри треугольной области.
Отобразим треугольник  (рис. 5): , на равносторонний треугольник  в системе координат  (рис.7) с использованием линейного преобразования:
.

Рис. 7

Несложно получить, что
.
В результате имеем:
,
 - якобиан перехода к системе координат .
Для вычисления двойного интеграла по треугольнику  воспользуемся 7-узловой квадратурной формулой:
,
где весовые коэффициенты  и узлы  приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Данная формула имеет 6 порядок точности:   [3].

Литература

1. 1.Кадомцев, М.И.Исследование динамики заглубленных фундаментов методами граничных и конечных элементов / Кадомцев, М.И., Ляпин, А.А., Селезнев, М.Г. //  Строительная механика и расчет сооружений. – 2010. – № 3. – С.61–64.
   2.Бабешко, В.А.Динамика неоднородных линейно-упругих сред / Бабешко, В.А., Глушков, Е.В., Зинченко, Ж.З./ – М. : Наука; Главная редакция физико-математической литературы. 1989. – 343 с.
   3.Справочник по специальным функциям /Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган/ -М.: Наука, 1979. –832 с