Методика численного моделирования спектрометрических газочувствительных сенсорных систем

Аннотация

Е.А. Рындин, А.С. Леньшин

  Рассмотрен принцип функционирования спектрометрических газочувствительных сенсорных систем. Предложены модель и методика численного моделирования спектрометрического газочувствительного сенсора с совмещенным излучателем-приемником инфракрасного излучения на основе перфорированного полупроводникового терморезистора.

Ключевые слова: спектрометрический газочувствительный сенсор, модель, методика моделирования

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Загрязнение атмосферы стало одной из основных проблем современной цивилизации. Выхлопные газы двигателей внутреннего сгорания содержат целый ряд высокотоксичных веществ, таких как окись углерода, углеводороды, окислы азота и др. Концентрации этих веществ в атмосфере неуклонно растут вследствие увеличения числа автомобилей [1]. В результате актуальной задачей является разработка комплексных газоанализаторов, удовлетворяющих современным требованиям по быстродействию и точности, стабильно функционирующих в условиях возмущающих факторов внешней среды. При этом одним из основных этапов разработки газочувствительных сенсорных систем является математическое моделирование, обеспечивающее сокращение сроков и стоимости проектирования сенсорных элементов, а также повышение эффективности проводимых экспериментальных исследований.
Принцип функционирования рассматриваемого в данной работе спектрометрического газочувствительного сенсора схематически представлен на рис. 1 [2].

Рисунок  1 - Принцип функционирования спектрометрического газочувствительного сенсора

В качестве излучателя-приемника инфракрасного (ИК) излучения используется полупроводниковый терморезистор. В качестве отражающего зеркала – металлическая крышка корпуса интегральной сенсорной микросистемы. Конструкция корпуса должна обеспечивать доступ атмосферного воздуха в объем между поверхностью микросистемы и внутренней (отражающей) поверхностью крышки (зеркала).
В режиме измерения через полупроводниковый терморезистор пропускается стабильный ток, определяющий температуру поверхности излучателя и, соответственно, интенсивность I₀ испускаемого ИК-излучения. Проходя через газ, заполняющий пространство между поверхностями излучателя и зеркала, определенная часть излученной энергии поглощается, причем доля поглощенной энергии зависит от концентрации анализируемого вещества в составе газовой смеси. В результате на поверхность излучателя-приемника будет возвращаться часть потока ИК-излучения интенсивностью I₁ < I₀, что приводит к изменению температуры и, следовательно, сопротивления излучателя-приемника. При постоянном токе через терморезистор изменение его сопротивления приведет к соответствующему изменению падения напряжения и, как следствие, к изменению интенсивности излучения I0, что приводит к возникновению положительной обратной связи, обеспечивающей повышение чувствительности сенсорной микросистемы. После установления термодинамического равновесия при новом значении концентрации поглощающего вещества в газовой смеси, напряжение на излучателе-приемнике будет определять значение анализируемой концентрации.
Основой сенсора является терморезистор, через который пропускается стабильный ток. Протравленный канал, отделяющий излучатель-приемник от подложки, предусмотрен для увеличения теплового сопротивления терморезистора на подложку. Кроме того, поверхность протравленного канала выполняет роль второго отражающего зеркала, на которое попадает ИК-излучение с нижней поверхности терморезистора, что обеспечивает повышение чувствительности микросенсора.
Повышение селективности микросенсора достигается посредством выполнения перфорации терморезистора отверстиями, диаметр которых соответствует длине волны, на которой наблюдается максимум спектра поглощения анализируемого вещества в составе газовой смеси.
Целью моделирования является определение зависимости напряжения на излучателе-приемнике от концентрации молекул анализируемого вещества в составе газовой смеси с учетом основных параметров микросенсора:

• электрофизических параметров полупроводника;
• геометрических размеров резистора (излучателя-приемника);
• концентрации легирующей примеси в излучателе-приемнике;
• коэффициента поглощения зеркала;
• тока, протекающего через излучатель-приемник.

Основой оптических методов определения концентрации газовых компонент является обобщенный закон Бугера-Ламберта-Бера [3]:
,(1)
где I₁ – интенсивность прошедшего через газовую среду излучения; I₀– интенсивность излучения источника; k_ω– показатель поглощения на частоте ω; z – оптический путь или расстояние до источника.
Предполагается, что толщина терморезистора D значительно меньше его длины L и ширины W. При этом площадь боковых поверхностей резистора значительно меньше площади верхней и нижней поверхностей, поэтому с достаточной степенью точности теплопередачей через боковые поверхности в рассматриваемой задаче можно пренебречь.
Принимая во внимание низкую теплопроводность атмосферного воздуха и малые расстояния между поверхностями терморезистора и отражающими зеркалами, теплопередачу посредством конвекции и кондукции с верхней и нижней поверхностей терморезистора можно не учитывать. С учетом принятых допущений, при решении задачи численного моделирования сенсора можно ограничиться двумя пространственными измерениями. Нестационарное распределение температуры во внутренних точках области решения задачи определяется уравнением теплопроводности:
,    (2)
где x, y – координаты; r – плотность полупроводника; С – удельная теплоемкость полупроводника; T – абсолютная температура; t – время; l – удельная теплопроводность полупроводника; P – мощность, потребляемая терморезистором; L – длина терморезистора; W – ширина терморезистора; D – толщина терморезистора.
В начальный момент времени t_min температура терморезистора определяется температурой подложки T0:
.   (3)
На границах, соединяющих терморезистор с подложкой, задаются граничные условия первого рода:
;  (4)
.   (5)
С учетом принятых допущений об отсутствии кондукции и конвекции через верхнюю и нижнюю грани терморезистора, теплопередача через данные поверхности происходит посредством излучения и описывается законом Стефана­-Больцмана [3]:
    (6)
где с₀– коэффициент лучеиспускания абсолютно черного тела; ε – относительная излучательная способность или степень черноты тела; WT – плотность теплового потока.
В соответствии с принципом функционирования микросенсора, законом Бугера-Ламберта-Бера (1) и законом Стефана­-Больцмана (6), на верхней и нижней гранях терморезистора задаются граничные условия третьего рода, определяющиеся выражениями:
;  (7)
,  (8)
где R_H, R_B  – коэффициенты отражения верхнего и нижнего зеркал; с – относительное содержание анализируемого компонента в газовой смеси; d_H, d_B – расстояния от излучающих поверхностей терморезистора до верхнего и нижнего зеркал; a – коэффициент поглощения.
Проводя дискретизацию уравнений (2) – (8) на координатной сетке
    (9)
и сетке по времени
, (10)
а также выражая плотность мощности в правой части уравнения (2) через силу тока и удельное сопротивление полупроводника, получим:
    (11)
.          (12)
;      (13)
.       (14)
          (15)
        (16)
где e – элементарный заряд; Δ_x – шаг координатной сетки по оси x; Δ_y – шаг координатной сетки по оси y; Δ_t – шаг сетки по времени; с – относительное содержание анализируемого компонента в газовой смеси; I_R – сила тока; N – концентрация легирующей примеси в терморезисторе; m – усредненное отношение площадей поперечного сечения терморезистора с перфорацией и без перфорации; mi,j,k – сеточная функция подвижности носителей заряда; T_i,_j,_k – сеточная функция температуры.
Дискретная модель (11) – (16) представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений, требующую применения итерационных методов решения. Предложенная методика численного решения состоит в следующем:
1⁰. Ввод исходных данных;
2⁰. Задание требуемого значения невязки ð;
3⁰. Генерация координатной сетки (9) и сетки по времени (10);
4⁰. Определение текущего распределения температуры в терморезисторе в соответствии с начальным условием (12);
5⁰. Нахождение распределения подвижности носителей заряда и правой части уравнения теплопроводности (11);
6⁰. Определение правых частей граничных условий (15), (16);
7⁰. Определение нового приближения к распределению температуры посредством численного решения системы алгебраических уравнений (11) – (16), которая с учетом определенных в пп. 5⁰ и 6⁰ правых частей уравнений (11), (15), (16) становится линейной;
8⁰. Определение невязки в соответствии с выражением:
,   (17)
где q – порядковый номер итерации;
9⁰. Если выполняется неравенство ξ > d, найденное нестационарное распределение температуры считается текущим и осуществляется переход к п. 50, в противном случае – переход к п. 10⁰;
10⁰. Повторение пп. 40 – 90 для всех исследуемых значений относительного содержания анализируемого компонента в газовой смеси;
11⁰. Определение и вывод зависимости изменения напряжения на терморезисторе от относительного содержания анализируемого компонента в газовой смеси, определение чувствительности, времени установления в рабочий режим и времени отклика микросенсора.
Разработанные модель и методика численного моделирования позволяют проводить детальный анализ влияния различных параметров газочувствительного микросенсора на его выходные характеристики, что дает возможность рассматривать предложенные модель и методику в качестве основы для соответствующих систем автоматизированного проектирования газочувствительных спектрометрических микросистем.
Исследование выполнено при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашение 14.А18.21.2052 «Разработка технологии формирования наноструктурированных материалов и гибридных сенсорных систем на их основе».

Литература:

1. Д.О. Горелик; Л.А. Конопелько. Мониторинг загрязнения атмосферы и источников выбросов: Аэроаналитические измерения. – М.: Изд-во стандартов, 1992. – 432с.
2. Дж. Фрайден.  Современные датчики. Справочник.– М.: Техносфера, 2005. – 592 с.
3. Х.Кухлинг. Справочник по физике. – М.: Мир, 1982. – 520 с.